Question

（1）设点A（p，q）在|p|≤3，|q|≤3范围内均匀分布，求一元二次方程x²-2px-q²+1=0有实根的概率．
（2）p是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，q是从0，1，2，三个数中任取的一个数，求上述x²-2px-q²+1=0有实根的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：计算题

分析：（1）求方程x²-2px-q²+1=0有实数根的概率，先根据二次方程根的判别式求出p，q必须满足的条件，再在坐标系中画出相应的封闭曲线，最后求出它们的面积比即可．
（2）根据一元二次方程根的存在情况可得△≥0，方程有解，列举出6种等可能的结果，其中只有p=0，q=1使△＜0，即使△≥0有5种情况，最后根据概率的概念求解即可；

解答： （1）解：由|p|≤3，|q|≤3可知（p，q）边长为6的正方形区域的点集构成
方程均为实数根的条件是：判别式△=4p²-4（-q²+1）≥0
即p²+q²≥1
在直接坐标系点（p，q）落在以原点为圆心，以1为半径的圆上或其外部
单位圆面积为π，正方形面积为6×6=36
则概率为

36-π

36

=1-

1

36

π
（2）由题意可得，本题是一个古典概率
设事件A：“方程x²-2px-q²+1=0有实数根”
当P＞0，q＞0时，x²-2px-q²+1=0有实数根的充要条件为p≥q
基本事件共有（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），1，1）（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）
事件A包含9个基本事件
事件A的概率P（A）=

9

12

=

3

4

点评：本题主要考查了几何概型，古典概率的求解公式的应用，要注意两者之间的联系与区别