Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式（2）若集合{x|f（x）=m}，x∈[0，

5π

12

]的子集个数恰有四个，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由图象可知，A=2又

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，可求ω，由五点法可得φ，即可求得函数f（x）的解析式．
（2）由已知可得y=f（x）与y=m图象有两个交点，在x∈[0，

5π

12

]的范围内，注意到：f（

π

12

）=-2，f（

π

6

）=f（0）=-

3

，f（

5π

12

）=1，即有m的最大变动区间为[-2，1]，讨论即可求得实数m的取值范围是．

解答： （本题满分为15分）
解：（1）由图象可知，A=2，…2分
又∵

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，∴ω=

2π

π

=2…5分
由五点法可得，φ=-

2π

3

…7分
∴f（x）=2sin（2x-

2π

3

）…8分
（2）∵子集个数恰有四个，∴集合里的元素恰有两个．
∴f（x）=m有两个根，即y=f（x）与y=m图象有两个交点…11分
在x∈[0，

5π

12

]的范围内，注意到：f（

π

12

）=-2，f（

π

6

）=f（0）=-

3

，f（

5π

12

）=1，
∴m的最大变动区间为[-2，1]…13分
又当m＜-2时，y=f（x）与y=m图象没有交点；
当m=-2时，y=f（x）与y=m图象只有一个交点；
当-2＜m≤-

3

时，y=f（x）与y=m图象有两个交点；
当-

3

＜m时，y=f（x）与y=m图象没有交点；
故实数m的取值范围是：-2＜m≤-

3

…15分

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，集合的性质，综合性强，属于中档题．