Question

定义在R上的函数f（x）=sinx+2xf′（

π

3

），f′（x）为f（x）的导函数，令a=-

1

2

，b=log₃2，则下列关系正确的是（　　）

• A、f（a）+f（b）＜0
• B、f（-a）+f（b）＞0
• C、f（a）+f（-b）＜0
• D、f（-a）+f（-b）＜0

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：求出原函数的导函数，取x=

π

3

求出f′（

π

3

），代入原函数解析式后求出f（x），求导函数判断原函数的单调性，比较a与b的大小后运用单调性判断f（a）与f（b）的大小，再判断出函数的奇偶性，再判断各个选项．

解答： 解：由题意得，f（x）=sinx+2xf′（

π

3

），
则f′（x）=cosx+2f′（

π

3

），
令x=

π

3

代入f′（x）得，f′（

π

3

）=cos

π

3

+2f′（

π

3

），
解得f′（

π

3

）=-

1

2

，所以f（x）=sinx-x，
由f′（x）=cosx-1≤0，得到f（x）为递减函数，
因为a=-

1

2

＜b=log₃2，则f （a）＞f （b），
即f （a）-f （b）＞0①，或f （b）-f （a）＜0②，
因为函数f（x）=sinx-x是奇函数，
所以①等价于f （a）+f （-b）＞0，则C错误；
②等价于f （-a）+f （b）＜0，则B错误；
因为-a=

1

2

=

log

3 3

＜b=log₃2，则f （-a）＞f （b），
即f （-a）-f （b）＞0，所以f （-a）+f （-b）＞0，则D错误；
由f （-a）+f （-b）＞0得-f （a）-f （b）＞0，
即f （a）+f （b）＜0，则A正确；
故选：A．

点评：本题考查了导数的运算，函数的奇偶性的定义、性质，利用导函数判断一个函数的单调性，由单调性比较两个函数值的大小，考查转化思想，属于中档题．