Question

设数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a₃=2，且对任意正整数n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，则a₁+a₂+…+a₁₀₀的值为（　　）

• A、200
• B、180
• C、160
• D、100

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a₃=2，且对任意正整数n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，令n=1，可得2a₄=4+a₄，解得a₄=4；同理可得a₅=a₆=1，a₇=2，a₈=4．可得数列{a_n}是周期为4的数列，即可得出．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a₃=2，且对任意正整数n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，
令n=1，可得2a₄=4+a₄，解得a₄=4，
同理可得a₅=a₆=1，a₇=2，a₈=4．
∴数列{a_n}是周期为4的数列，
∴a₁+a₂+…+a₁₀₀=25（a₁+a₂+a₃+a₄）=25×（1+1+2+4）=200．
故选：A．

点评：本题考查了数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．