Question

设函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）＜0，试判断函数f（x）的单调性．并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0对一切x∈R恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=

3

2

，g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用奇偶函数的定义可判断；
（2）由f（1）＜0可得0＜a＜1，由此可判断f（x）的单调性，利用函数的性质可去掉符号“f”，化为二次不等式，进而可得△＜0；
（3）由f（1）=

3

2

可得a=2，通过换元可把g（x）化为二次函数，讨论二次函数的对称轴可求最小值，令其为-2可求m；

解答： 解：（1）f（x）的定义域为R，关于原点对称，
且f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
∵f（1）＜0，∴a-

1

a

＜0，
又a＞0，且a≠1，
∴0＜a＜1，
故f（x）在R上单调递减，
不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5；
（3）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-

1

2

（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，
∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥

3

2

），
若m≥

3

2

，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，
∴m=2；
若m＜

3

2

，当t=

3

2

时，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去，
综上可知m=2．

点评：该题考查函数恒成立、函数的奇偶性单调性及其应用，考查抽象不等式，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．