Question

已知函数f（x）=x+

a

x

+b，不等式xf（x）＜0的解集为（1，3）．
（Ⅰ）求实数a、b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（2^x）-k•2^-x-k=0有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（I）由于不等式xf（x）＜0的解集为（1，3），即x²+bx+a＜0的解集为（1，3），利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出；
（II）由（I）方程f（2^x）-k•2^-x-k=0可化为2^2x-（k+4）•2^x+3-k=0，令2^x=t，则t＞0．即t²-（k+4）t+3-k=0有两个不相等的实数根，因此△=（k+4）²-4（3-k）＞0，且k+4＞0，3-k＞0，解得即可．

解答： 解：（I）∵不等式xf（x）＜0的解集为（1，3），即x²+bx+a＜0的解集为（1，3），
∴

1+3=-b 1×3=a

，
解得a=3，b=-4．
（II）由（I）可得：f(x)=x+

3

x

-4，
方程f（2^x）-k•2^-x-k=0可化为2^2x-（k+4）•2^x+3-k=0，
令2^x=t，则t＞0．
∴t²-（k+4）t+3-k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（k+4）²-4（3-k）＞0，且k+4＞0，3-k＞0，
解得-6+4

2

＜k＜3．
∴实数k的取值范围是(-6+4

2

，3)．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的实数根与判别式的关系及根与系数的关系、指数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法，属于难题．