Question

定义：若对任意n∈N^*，数列{a_n}的前n项和S_n都为完全平方数，则称数列{a_n}为“完全平方数列”；特别的，若存在n∈N^*，使数列{a_n}的前n项和S_n为完全平方数，则称数列{a_n}为“部分平方数列”．
（1）若数列{a_n}为“部分平方数列”，且a_n=

2，      n=1 2n-1， n≥2

（n∈N^*），求使数列{a_n}的前n项和S_n为完全平方数列时n的值；
（2）若数列{b_n}的前n项和T_n=（n-t）²（其中t∈N^*），那么数列{|b_n|}是否为“完全平方数列”？若是，求出t的值；若不是，请说明理由；
（3）试求所有为“完全平方数列”的等差数列．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的应用

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）求出数列{a_n}的前n项和S_n，利用定义可求n的值；
（2）|b_n|=

(t-1)2，n=1 |2n-2t-1|，n≥2

，分类讨论可得结论；
（3）S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=(

2d

2

)2[n+（

a1

d

-

1

2

）]²-（

a12

2d

-

a1

2

+

d

8

），可得

2d

2

∈Z，

a1

d

-

1

2

∈Z，

a12

2d

-

a1

2

+

d

8

=0，即可求出结论．

解答： 解：（1）∵S_n=2+

2×(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ，
∴n=2k时，S_n=（2^k）²是完全平方数列；
（2）n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2n-2t-1．
n=1时，b₁=（1-t）²≥0，不满足上式，
∴|b_n|=

(t-1)2，n=1 |2n-2t-1|，n≥2

，
①t=1时，2n-2t-1=2n-3＞0，∴数列{|b_n|}与原数列相同，是“完全平方数列”；
②t≠1时，不是“完全平方数列”；
（3）设等差数列的首项为a₁，公差为d，则
S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=(

2d

2

)2[n+（

a1

d

-

1

2

）]²-（

a12

2d

-

a1

2

+

d

8

），
∴

2d

2

∈Z，

a1

d

-

1

2

∈Z，

a12

2d

-

a1

2

+

d

8

=0，
令

2d

2

=k，则d=2k²；

a1

d

-

1

2

=m，则a₁=k²（2m+1），
代入

a12

2d

-

a1

2

+

d

8

=0，可得mk=0，
①k=0，则a_n=0；
②k≠0，则a₁=k²，d=2k²，∴a_n=k²（2n-1），
a_n=0符合上式，
∴所有为“完全平方数列”的等差数列为a_n=k²（2n-1）．

点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，有难度．