Question

已知函数f（x）=ax³+3x|x-2|+1，a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若函数y=f（x）不存在极值，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=3x|x-2|，通过讨论x的范围，去掉绝对值号，从而求出单调区间；
（Ⅱ）先求出函数的导数，得到当a＞0时，若函数y=f（x）不存在极值，则只能是单调递增．而当a＞0时容易得3ax²+6x-6≥0对x＞2恒成立；对于3ax²-6x+6≥0对x＜2恒成立，则应满足

1 a ≥2 12a-12+6≥0

，解不等式求出即可．

解答： （Ⅰ）解：当a=0时，
∴f(x)=3x|x-2|+1=

3x2-6x+1，x＞2 -3x2+6x+1，x≤2

，
∴y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）∵f(x)=ax3+3x|x-2|+1=

ax3+3x2-6x+1，x＞2 ax3-3x2+6x+1，x≤2

，
∴f′(x)=

3ax2+6x-6，x＞2 3ax2-6x+6，x＜2

；
∵a＞0，∴3ax²+6x-6≤0在（2，+∞）不可能恒成立，
即y=f（x）不可能是单调递减．
∴当a＞0时，若函数y=f（x）不存在极值，则只能是单调递增．
则有3ax²+6x-6≥0对x＞2恒成立，
3ax²-6x+6≥0对x＜2也恒成立．
而当a＞0时容易得3ax²+6x-6≥0对x＞2恒成立；
对于3ax²-6x+6≥0对x＜2恒成立，
则应满足

1 a ≥2 12a-12+6≥0

，
或

0＜ 1 a ＜2 3a( 1 a )2- 6 a +6≥0

，
得a=

1

2

，或a＞

1

2

，
即a≥

1

2

．

点评：本题考察了利用导数求函数的单调性，求函数的极值问题，是一道综合题．