Question

7．△ABC中，已知AB=2，BC=4，∠B的平分线BD=$\sqrt{6}$，则AC边上的中线BE=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

Answer 1

分析 设AD=x，利用三角形角平分线的性质，可求AC=3x，利用余弦定理可求x的值，即可得解AC的值，利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，即可得解BE的值．

解答 解：∵AB=2，BC=4，∠B的平分线BD=$\sqrt{6}$，设AD=x，
∴由$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}$，可得：$\frac{2}{4}=\frac{x}{DC}$，解得：DC=2x，AC=AD+DC=3x，
∵∠ABD=∠DBC，可得：cos∠ABD=cos∠DBC，
∴由余弦定理可得：$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}$=$\frac{B{D}^{2}+B{C}^{2}-D{C}^{2}}{2BD•BC}$，可得：$\frac{4+6-{x}^{2}}{2×2×\sqrt{6}}$=$\frac{16+6-（2x）^{2}}{2×4×\sqrt{6}}$，
∴解得：x=1，AC=3，
∵BE是AC边上的中线，
∴3²+（2BE）²=2（4+16），
∴解得：BE=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

点评 本题考查三角形角平分线的性质，考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．