Question

16．若角α是锐角，则sinα+cosα+$\frac{2\sqrt{2}}{sin（α+\frac{π}{4}）}$的最小值是3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由角α是锐角，可得：α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），进而$sin（α+\frac{π}{4}）$∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，结合对勾函数的图象和性质，可得sinα+cosα+$\frac{2\sqrt{2}}{sin（α+\frac{π}{4}）}$的最小值．

解答 解：∵角α是锐角，
∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴$sin（α+\frac{π}{4}）$∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
令t=$sin（α+\frac{π}{4}）$，t∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
则sinα+cosα+$\frac{2\sqrt{2}}{sin（α+\frac{π}{4}）}$=$\sqrt{2}$（t+$\frac{2}{t}$），
∵y=t+$\frac{2}{t}$在（0，$\sqrt{2}$]上为减函数，
故当t=1，即$sin（α+\frac{π}{4}）$=1时，sinα+cosα+$\frac{2\sqrt{2}}{sin（α+\frac{π}{4}）}$的最小值是3$\sqrt{2}$，
故答案为：3$\sqrt{2}$

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，对勾函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，难度中档．