Question

6．已知sin（2x+$\frac{π}{5}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则sin（$\frac{4π}{5}$-2x）+sin²（$\frac{3π}{10}$-2x）=$\frac{2+\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据同角三角函数关系求得cos²（2x+$\frac{π}{5}$）=$\frac{2}{3}$，然后利用诱导公式进行化简求值．

解答 解：∵sin（2x+$\frac{π}{5}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴cos²（2x+$\frac{π}{5}$）=1-sin²（2x+$\frac{π}{5}$）=$\frac{2}{3}$，
sin（$\frac{4π}{5}$-2x）+sin²（$\frac{3π}{10}$-2x）=sin（2x+$\frac{π}{5}$）+cos²（2x+$\frac{π}{5}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{3}$．
故答案是：$\frac{2+\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，属于基础题，熟记公式即可解题．