Question

【题目】给定数列，若满足（且），对于任意，都有，则称数列为指数数列.

（1）已知数列、的通项公式分别为，，试判断、是不是指数数列（需说明理由）；

（2）若数列满足：，，，证明：是指数数列；

（3）若是指数数列，，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.

Answer 1

【答案】（1）不是指数数列，是指数数列，见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）对数列、，验证与，与是否相等，由此判断出、是不是指数数列.

（2）利用累加法求得数列的通项公式，然后验证，由此证得是指数数列.

（3）首先根据指数数列的定义求得数列的通项公式，利用反证法，证得数列中任意三项都不能构成等差数列.

（1）对于数列，，，，因为，所以不是指数数列.

对于数列，对任意，因为，所以是指数数列.

（2）由题意，，所以数列是首项为，公比为2的等比数列.所以.

所以，，

即的通项公式为.所以，故是指数数列.

（3）因为数列是指数数列，故对于任意的，有，令，则，

所以是首项为，公比为的等比数列，所以，.

假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设，

则由，得，所以，

当为偶数时，是偶数，而是偶数，是奇数，

故不能成立；

当为奇数时，是偶数，而是奇数，是偶数，

故也不能成立.

所以，对任意，不能成立，

即数列的任意三项都不成构成等差数列.

（另证：因为对任意，一定是偶数，而与为一奇一偶，故与也为一奇一偶，故等式右边一定是奇数，等式不能成立.）