Question

【题目】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（）,且点F（，0）为其右焦点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线与椭圆C交于B,D两点,满足,且原点到直线l的距离为？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)不存在符合条件的直线.

【解析】

(1)求出左焦点的坐标,求出到左焦点距离,再求出到右焦点的距离,最后利用椭圆的定义求出椭圆方程；

(2)假设存在这样的直线,设出直线的方程, 原点到直线l的距离为,可得到等式,该直线方程与椭圆方程联立,根据根的判别式,可以计算出直线l的斜率的取值范围,把向量式子

用数量积的坐标表示公式化简,结合根与系数关系可求出该直线的斜率,检验该值在不在斜率的取值范围中,最后再考虑直线不存在斜率的情况,这样就可以得出正确结论.

(1)设椭圆C的方程为，则左焦点为，

在直角三角形中，可求，∴，

故椭圆C的方程为．

(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为，由原点到l的距离为得：

．

联立方程，得．

则，，．

设，，

则，

解得．

当斜率不存在时l的方程为，易求得.

综上，不存在符合条件的直线.