Question

【题目】设，已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）求函数在上的最小值；

（Ⅲ）若, 求使方程有唯一解的的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），则在上递增，，则在在上递减，上递增，（Ⅱ）（Ⅲ）.

【解析】

（1）令大于0、小于0，讨论a的范围求解.

（2）直接由（1）的单调性得最小值.

（3）令，令得 ∴在递减，上递增，有唯一解， ∴．得到a与的关系，转化为的方程，求得进而求得a.

（Ⅰ）定义域为，

，则在上递增

，则在在上递减，上递增， （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，时，在上是增函数，

∴；

②当时，在上递减，上递增，

∴；

综上，

（Ⅲ）令，由题意，得方程有唯一解，又

，定义域为，

令得 ∴在递减，上递增，

有唯一解， ∴．

由即得，

设，易知在递增，且

∴方程的解为即，解得，

故，当时，方程有唯一解时的值为．