Question

（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点。[
（1）求证：AB₁//面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值；
（3）若在线段AB₁上存在点P，使得CP面BDC₁，试求AA₁的长及点P的位置。

Answer 1

（1）见解析（2）（3）点P位置是在线段AB₁上且

（1）连接B₁C，交BC₁于点O，
则O为B₁C的中点，
D为AC中点，
，
又平面BDC₁，平面BDC₁
             BDC₁    4分
（2）平面ABC，BCAC，AA₁//CC­₁，
面ABC，
则BC平面AC₁，CC₁AC
如图建系，则


设平面C₁DB的法向量为 z
则
又平面BDC的法向量为
二面角C₁—BD—C的余弦值：
   9分
（3）设，
则

又面BDC₁，

解得
所以AA₁=2，点P位置是在线段AB₁上且 14分