Question

已知四棱锥的底面是平行四边形，,，面，

且. 若为中点，为线段上的点，且.

（Ⅰ）求证：平面；

    （Ⅱ）求PC与平面PAD所成角的正弦值.

 

Answer 1

解：（Ⅰ）证明1：连接BD交AC于点O，取中点，连接、、.

因为、分别是、的中点， 所以，

又     ，所以     ……2分

因为、分别是、的中点，

所以，同理可得     ……4分

又 所以，平面平面.

又因为平面，故平面.    ……6分

证明2：作AH垂直BC交BC于H

建立如图的空间直角坐标系O-XYZ，令AD=PA=2,则AB=1

所以

为中点， 所以 ……2分

设面AFC的一个法向量，又

由,

所以 

令   ……4分

 所以

所以   故平面.                             ……6分

（Ⅱ）解1：因为，，所以.

过C作AD的垂线，垂足为H，则，，所以平面PAD.

故为PC与平面PAD所成的角.        ……………………9分

设，则，，，

所以，即为所求.    ……………………12分

解2：作AH垂直BC交BC于H，建立如图的空间直角坐标系O-XYZ，令AD=PA=2,则AB=1

所以       ……8分

因为,所以面PCD的一个法向量为    ……10分

令PC与平面PAD所成的角为，则

故PC与平面PAD所成角的正弦值为. ……