Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且2a_n+1=S_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）解不等式

n

i=1

3

ai

＞Sn（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，分别令n=1和n=2，能够得到a₂，a₃的值，再由2a_n+1=S_n+2和2a_n=S_n-1+2两式相减，得到2a_n+1-2a_n=S_n-S_n-1．由此能够导出{a_n}为等比数列，从而得到数列{a_n}的通项公式．
（2）

3

an

=3×(

2

3

)n-1，由n=1，2，3，4，5得到它的前5项为：3，2，

4

3

，

8

9

，

16

27

．{a_n}的前5项为：1，

3

2

，

9

4

，

27

8

，

81

16

，然后分别进行讨论，能够求出不等式

n

i=1

3

ai

＞Sn（n∈N^*）的解集．

解答：解：（1）∵2a₂=S₁+2=a₁+2=3，∴a2=

3

2

．（1分）
∵2a3=S2+2=a1+a2+2=

9

2

，∴a3=

9

4

．（2分）
∵2a_n+1=S_n+2，∴2a_n=S_n-1+2（n≥2），
两式相减，得2a_n+1-2a_n=S_n-S_n-1．∴2a_n+1-2a_n=a_n．则an+1=

3

2

an（n≥2）（4分）
∵a2=

3

2

a1，∴an+1=

3

2

an（n∈N^*）（5分）
∵a₁=1≠0，∴{a_n}为等比数列，an=(

3

2

)n-1．（6分）
（2）

3

an

=3×(

2

3

)n-1，
∴数列{

3

an

}是首项为3，公比为

2

3

等比数列．（7分）
数列{

3

an

}的前5项为：3，2，

4

3

，

8

9

，

16

27

．{a_n}的前5项为：1，

3

2

，

9

4

，

27

8

，

81

16

．
∴n=1，2，3时，

n

i=1

3

ai

＞Sn成立；（10分）
而n=4时，

n

i=1

3

ai

 ≤ Sn；（11分）
∵n≥5时，

3

an

＜1，a_n＞1，∴

n

i=1

3

ai

 ≤ Sn．（13分）
∴不等式

n

i=1

3

ai

＞Sn（n∈N^*）的解集为{1，2，3}．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意数列递推式的合理运用．