Question

已知函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R，那么（Ⅰ）函数的最小正周期是什么？（Ⅱ）函数在什么区间上是增函数？

Answer 1

分析：（Ⅰ） 先利用二倍角公式化简可得y=sin2x+cos2x+2，再利用辅助角公式化简得y=

2

sin(2x+

π

4

)+2，从而可求函数的最小正周期；
（Ⅱ） 整体思维，利用正弦函数的单调性，可得2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，化简即可得到函数的增区间．

解答：解：（Ⅰ） y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=（sin²x+cos²x）+sin2x+2cos²x
=1+sin2x+（1+cos2x）
=sin2x+cos2x+2-------------------------------------------------（2分）
=

2

sin(2x+

π

4

)+2，---------------------------------------------------（5分）
∴函数的最小正周期是π．--------------------------------------（6分）
（Ⅱ） 由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z---------------------------（8分）
得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

--------------------------------------------------------（10分）
∴函数的增区间为：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z--------------------------------（12分）

点评：本题重点考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确运用二倍角公式及辅助角公式是解题的关键．