Question

已知点A（-

3

，0）和B（

3

，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2．
求：
（1）点C的轨迹方程；
（2）设动点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长．

Answer 1

分析：（1）由点A（-

3

，0）和B（

3

，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2．知C的轨迹是以A（-

3

，0）和B（

3

，0）为焦点的双曲线，由此能求出C的轨迹方程．
（2）C的轨迹方程是x2-

y2

2

=1，联立

y=x-2 x2- y2 2 =1

，得x²+4x-6=0，由此能求出线段DE的长．

解答：解：（1）∵点A（-

3

，0）和B（

3

，0），
动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2．
|AB|=2

3

＞2，
∴C的轨迹方程是以A（-

3

，0）和B（

3

，0）为焦点的双曲线，
且a=1，c=

3

，
∴C的轨迹方程是x2-

y2

2

=1．
（2）∵C的轨迹方程是x2-

y2

2

=1，
∴联立

y=x-2 x2- y2 2 =1

，得x²+4x-6=0，
设D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），则x₁+x₂=-4，x₁x₂=-6，
∴|DE|=

(1+1)[(-4)2-4×(-6)]

=4

5

．
故线段DE的长为4

5

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查弦长的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线的定义和弦长公式的合理运用．