Question

如图，已知点A（

3

，0），B（0，1），圆C是以AB为直径的圆，直线l：

x=tcosφ y=-1+tsinφ

，（t为参数）．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）过原点O作直线l的垂线，垂足为H，若动点M0满足2

OM

=3

OH

，当φ变化时，求点M轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

Answer 1

分析：（1）由条件求得圆的直角坐标方程为 (x-

3

2

)2+(y-

1

2

)2=1，由于OC和x轴的正方向的夹角为

π

6

，在圆上任意取一点M（ρ，θ），则 ρ=2•cos（θ-

π

6

）即为所求．
（2）由条件可得直线l的普通方程为xsinφ-ycosφ-cosφ=0，由于2

OM

=3

OH

，可得 M（

3

4

sin2φ，-

3

4

-

3

4

cos2φ），由此得到点M轨迹的参数方程．

解答：解：（1）∵点A（

3

，0），B（0，1），圆C是以AB为直径的圆，故点C的坐标为（

3

2

，

1

2

），半径等于

1

2

|AB|=1，
故圆的方程为 (x-

3

2

)2+(y-

1

2

)2=1．  （2’）
由于OC和x轴的正方向的夹角为

π

6

，在圆上任意取一点M（ρ，θ），则 ρ=2•cos（θ-

π

6

 ），
故圆的极坐标方程为 ρ=2•cos（θ-

π

6

）．         （4’）
（2）直线l的普通方程为xsinφ-ycosφ-cosφ=0，（5’）
点 H（

1

2

sin2φ，-

1

2

-

1

2

cos2φ）．   （7’）
由于2

OM

=3

OH

，∴M（

3

4

sin2φ，-

3

4

-

3

4

cos2φ），（9’）
∴点M轨迹的参数方程为  

x= 3 4 sin2φ y=- 3 4 - 3 4 cos2φ

，φ为参数，图形为圆．       （10’）

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，圆的参数方程，简单曲线的极坐标方程，属于基础题．