Question

已知在平面直角坐标系xoy中，圆C经过函数f（x）=

1

3

x³+x²-3x-9（x∈R）的图象与两坐标轴的交点，C为圆心．
（1）求圆C的方程；
（2）在直线l：2x+y+19=0上有一个动点P，过点P作圆C的两条切线，设切点分别为M，N，
求四边形PMCN面积的最小值及取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）解三次方程，得x₁=-3，x₂=3．令x=0得f（0）=-9．由此得到函数图象三个交点分别是（3，0），（-3，0），（0，-9），再由圆方程的一般式解方程组，即可得到圆C的方程；
（2）根据圆的对称性和三角形面积公式，可得S_PMCN=5PM，因此要求面积最小值即求PM的最小值．由点到直线的距离公式和勾股定理加以计算即可得到当P（-6，-7）时，四边形PMCN面积的最小值是10

5

．

解答：解：（1）由（x）=

1

3

x³+x²-3x-9=0，得

1

3

（x+3）²（x-3）=0
解之得x₁=-3，x₂=3．
再由x=0，得f（0）=-9
∴函数图象与两坐标轴有三个交点分别是（3，0），（-3，0），（0，-9）---（3分）
设经过该三点圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
将三点坐标代入，解得：D=0，E=8，F=-9，
所以圆的方程是：x²+y²+8y-9=0，--------（8分）
（2）由题意，得：S_PMCN=5PM，因此要求面积最小值即求PM的最小值，
而PM=

PC2-r2

，
∵PC最小值为点C到直线l的距离，即PC_min=

|-4+19|

5

=3

5

，-------10
∴PM_min=

45-25

=2

5

，所以四边形PMCN面积的最小值是10

5

．-（12分）．
此时PC的方程为x-2y-8=0，与直线l联解可得得P（-6，-7）---（14分）．

点评：本题给出经过三点的圆，求圆的方程并求四边形面积的最小值，着重考查了点到直线的距离公式、圆的方程和面积最值的求法等知识，属于中档题．