Question

关于x的方程x²-mx+m+1=0（k∈R）的两实根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π），sinθ+cosθ求：
（1）m的值；
（2）

sinθ

1+ 1 tanθ

+

cosθ

1+tanθ

的值；
（3）方程的两实根及此时θ的值．

Answer 1

考点：三角函数的恒等变换及化简求值,根与系数的关系

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用韦达定理可求得m²-2m-3=0，解得m=-1或m=3（舍去），从而可得m的值；
（2）由（1）知m=-1，将所求的关系式化简为

1

m

，将m=-1代入即可求得答案；
（3）由m=-1，知sinθ+cosθ=-1，sinθ•cosθ=-1+1=0，而θ∈（0，2π），从而可得方程的两实根及此时θ的值．

解答： 解：（1）∵为sinθ和cosθ为方程x²-mx+m+1=0（k∈R）的两实根，
∴sinθ+cosθ=m，sinθ•cosθ=m+1，
∵（sinθ+cosθ）²=sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1+2sinθcosθ，
∴m²=1+2（m+1），即m²-2m-3=0，
解得：m=-1或m=3（舍去），
∴m=-1．
（2）由（1）知m=-1，
∴原式=

sinθ

1+ cosθ sinθ

+

cosθ

1+ sinθ cosθ

=

sin2θ+cos2θ

sinθ+cosθ

=

1

sinθ+cosθ

=

1

m

=-1；
（3）∵sinθ+cosθ=-1，sinθ•cosθ=-1+1=0，
∴sinθ=0，cosθ=-1或cosθ=0，sinθ=-1，
又θ∈（0，2π），
∴θ=π或θ=

3π

2

．

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的应用与正弦函数与余弦函数的性质，属于中档题．