Question

14．如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，$SD=\sqrt{3}AD$．
（1）求多面体ABCDS的体积；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）多面体ABCCDS的体积即四棱锥S-ABCD的体积，由此能求出结果．
（Ⅱ）以D为原点，DS，DA，DC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-SB-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）多面体ABCCDS的体积即四棱锥S-ABCD的体积．
所以${V_{S-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{平行四边形ABCD}}×|{SD}|=\frac{1}{3}×2a×a×\sqrt{3}a=\frac{{2\sqrt{3}{a^3}}}{3}$…（4分）
（Ⅱ）以D为原点，DS，DA，DC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），S（$\sqrt{3}a，0，0$），B（0，a，2a），A（0，a，0），B（0，a，2a），
$\overrightarrow{DS}=（\sqrt{3}a，0，0）$，$\overrightarrow{DB}=（0，a，2a）$，
设面SBD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DS}=\sqrt{3}a=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=ay+2az=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-2，1），
又∵$\overrightarrow{AB}=（0，0，2a）$，$\overrightarrow{SA}=（-\sqrt{3}a，a，0）$
∴设面SAB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=2az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SA}=-\sqrt{3}ax+ay=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}=（1，\sqrt{3}，0）$，…（11分）
设二面角A-SB-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
所以二面角A-SB-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查多面体的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．