Question

8．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA₁=2，AD=CD=$\sqrt{5}$，且点M和N分别为B₁C和DD₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ABCD；
（2）求直线AD₁和平面ACB₁所成角的正弦值；
（3）求点M到平面ACD₁的距离．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，以AC、AB、AA₁所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与$\overrightarrow{MN}$的数量积为0，即得结论；
（2）求出平面ACB₁的法向量，利用向量的夹角公式，求直线AD₁和平面ACB₁所成角的正弦值；
（3）求出平面ACD₁的法向量，即可求点M到平面ACD₁的距离．

解答 （1）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA₁所在直线分别为x、y、z轴建系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，-2，0），A₁（0，0，2），B₁（0，1，2），C₁（2，0，2），D₁（1，-2，2），
又∵M、N分别为B₁C、D₁D的中点，∴M（1，$\frac{1}{2}$，1），N（1，-2，1）．
由题可知：$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{5}{2}$，0），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}$=0，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
（2）解：设平面ACB₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{y+2z=0}\end{array}\right.$，∴取$\overrightarrow{m}$=（0，2，-1），
∵$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（1，-2，2），
∴直线AD₁和平面ACB₁所成角的正弦值=|$\frac{-4-2}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（3）解：设平面ACD₁的法向量为$\overrightarrow{m′}$=（x′，y′，z′），
则∵$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（1，-2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x′=0}\\{x′-2y′+2z′=0}\end{array}\right.$，∴取$\overrightarrow{m′}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{AM}$=（1，$\frac{1}{2}$，1），∴点M到平面ACD₁的距离d=$\frac{\frac{1}{2}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查直线与平面平行、点M到平面ACD₁的距离、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．