Question

【题目】已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1﹣x2 ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）的图象．
（3）若函数f（x）在区间[a，a+1]上单调，直接写出实数a的取值范围．（不必写出演算过程）

Answer 1

【答案】
（1）解：1°因为函数是奇函数，所以x=0时，f（0）=0

2°设x＜0，则﹣x＞0，根据当x＞0时，f（x）=1﹣x2，得f（﹣x）=1﹣（﹣x）2=1﹣x2

∵f（x）为定义在R上的奇函数

∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2﹣1

综上：

（2）解：当x＞0时，函数图象为开口向下抛物线的右侧，当x＜0时，函数图象为开口向上抛物线的左侧，

并且f（0）=0，由此可得函数图象如右图

（3）解：根据（2）的函数图象，可得当[a，a+1]（﹣∞，0）时，函数函数f（x）在区间[a，a+1]上是减函数；

当[a，a+1]（0，+∞）时，函数f（x）在区间[a，a+1]上是增函数．

解之得：a＜﹣1或a＞0

【解析】（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，再设x＜0，根据函数的表达式结合函数为奇函数的性质得f（x）=﹣f（﹣x）=x2﹣1，最后综合可得函数f（x）的表达式；（2）当x＞0时，函数图象为开口向下抛物线的右侧，当x＜0时，函数图象为开口向上抛物线的左侧，并且f（0）=0，由此可得函数图象如图；（3）对照（2）的函数图象，可得当[a，a+1]（﹣∞，0）时或当[a，a+1]（0，+∞）时，函数f（x）在区间[a，a+1]上是单调函数，解之即得a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)，还要掌握奇偶性与单调性的综合(奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性)的相关知识才是答题的关键．