Question

【题目】解答
（1）求证：函数y=x+ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0， ]上是减函数，在[ ，+∞）上是增函数．
（2）若f（x）= ，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的值域；
（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1），求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设 ，任取x1，x2∈（0， ]且x1＜x2， ，

显然，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣a＜0，∴h（x1）﹣h（x2）＞0，即该函数在∈（0， ]上是减函数；

同理，对任意x1，x2∈[ ，+∞）且x1＜x2，h（x1）﹣h（x2）＜0，即该函数在[ ，+∞）上是增函数

（2）解： ，设u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，

则 ，u∈[1，3]．

由已知性质得，当1≤u≤2，即 时，f（x）单调递减，所以减区间为 ；

同理可得增区间为 ；

由f（0）=﹣3， ， ，得f（x）的值域为[﹣4，﹣3]

（3）解：g（x）=﹣x﹣2a为减函数，故g（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]．

由题意，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，∴ ，

∴ ．

【解析】（1）利用函数的单调性的定义，直接证明即可．（2）转化函数的表达式为（1）的函数的形式，然后求解函数的值域即可．（3）利用函数的值域以及子集关系，列出不等式组求解即可．