Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=DB=

2

2

AB
（1）若M为PC上任一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）若四棱锥P-ABCD的体积为

3

2

，求AD长．

Answer 1

分析：（1）要证平面MBD⊥平面PAD，只要证其中一个面经过另一个面的一条垂线即可，由题目给出的三角形PAD为等边三角形，取AD中点N，连接PN，有PN⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，所以可得PN⊥面ABCD，则有PN⊥BD，在三角形ADB中，根据边的关系可证AD⊥BD，利用线面垂直的判定可得BD⊥面PAD，则平面MBD⊥平面PAD；
（2）设AD长为x，在底面等腰直角三角形中，把底面平行四边形的边和高都用x表示，在等边三角形PAD中，四棱锥的高PN也用x表示，代入体积公式中可求x的值．

解答：（1）证明：如图，

取AD中点N，连接PN，
∵△PAD为正三角形，∴PN⊥AD，
又∵面PAD⊥面ABCD，∴PN⊥面ABCD，
又BD?面ABCD，∴PN⊥BD，
在△ABD中，∵AD=BD=

2

2

AB，
∴AD2+BD2=(

2

2

AB)2+(

2

2

AB)2=AB2
∴BD⊥AD，
又AD∩PN=N，∴BD⊥面PAD．
又BD?面BDM，∴面MBD⊥面PAD．
（2）解：设AD=x，则AB=

2

x，
过D作DG⊥AB于G，
∵△ADB为等要直角三角形，∴DG=

2

2

x．
∴S四边形ABCD=AB×DG=

2

x•

2 x

2

=x2．
在等边三角形PAD中，PN=

3 x

2

．
由VP-ABCD=

1

3

×SABCD×PN=

1

3

x2•

3 x

2

=

3

2

，得：x=

3

．
即AD=

3

．

点评：本题考查了空间中线面垂直的判定和性质，考查了面面垂直的判定，考查了学生的空间想象和思维能力，考查了棱锥的体积公式，此题是中档题．