Question

【题目】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为和，以点为圆心，以为半径的圆与以点为圆心，以为半径的圆相交，且交点在椭圆上．

（）求椭圆的方程．

（）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于、两点，射线交椭圆于点．

①求的值．

②求面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①2②

【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义可得，再结合离心率得到椭圆的方程；（2）（i）设P（x0，y0），|=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．

试题解析：

解：（）设两圆的一个交点为，则，，由在椭圆上可得，则，，得，则，

故椭圆方程为．

（）①椭圆为方程为，

设，则有，

在射线上，设，

代入椭圆可得，

解得，即，

．

②（理）由①可得为中点，在直线上，则到直线的距离与到直线的距离相等，

故，联立，

可得，

则，，

，

联立，得，

，

，

，

，

当且仅当时等号成立，

故最大值为．