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已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.
(1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;
(2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:对于圆C上任一点P,都有
PB
PA
为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.
(1)设所求直线方程为y=-2x+b,即2x+y-b=0,∵直线与圆相切,
|-b|
22+12
=3
,得b=±3
5

∴所求直线方程为y=-2x±3
5

(2)方法1:假设存在这样的点B(t,0),
当P为圆C与x轴左交点(-3,0)时,
PB
PA
=
|t+3|
2

当P为圆C与x轴右交点(3,0)时,
PB
PA
=
|t-3|
8

依题意,
|t+3|
2
=
|t-3|
8
,解得,t=-5(舍去),或t=-
9
5

下面证明点B(-
9
5
,0)
对于圆C上任一点P,都有
PB
PA
为一常数.
设P(x,y),则y2=9-x2
PB2
PA2
=
(x+
9
5
)
2
+y2
(x+5)2+y2
=
x2+
18
5
x+
81
25
+9-x2
x2+10x+25+9-x2
=
18
25
(5x+17)
2(5x+17)
=
9
25

从而
PB
PA
=
3
5
为常数.
方法2:假设存在这样的点B(t,0),使得
PB
PA
为常数λ,则PB22PA2
∴(x-t)2+y22[(x+5)2+y2],将y2=9-x2代入得,
x2-2xt+t2+9-x22(x2+10x+25+9-x2),
即2(5λ2+t)x+34λ2-t2-9=0对x∈[-3,3]恒成立,
5λ2+t=0
34λ2-t2-9=0
,解得
λ=
3
5
t=-
9
5
λ=1
t=-5
(舍去),
所以存在点B(-
9
5
,0)
对于圆C上任一点P,都有
PB
PA
为常数
3
5
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2
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2
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1-(y-1)2
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2
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1-x2
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曲线y=1+
4-x2
(x∈[-2,2])
与直线y=k(x-2)+4两个公共点时,实数k的取值范围是(  )
A.(0,
5
12
)
B.(
1
3
3
4
)
C.(
5
12
,+∞)
D.(
5
12
3
4
]

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