Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，D为BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）求异面直线C₁D与直线A₁C所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：几何法
（I）根据直棱柱的几何特征，结合∠B₁A₁C₁=90°，可证得A₁C₁⊥平面A₁B₁BA，进而AD⊥A₁C₁，由勾股定理可得A₁D⊥AD，最后由线面垂直的判定定理得到AD⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）连结AC₁交A₁C于点E，取AD的中点F，连结EF，则EF∥C₁D，∠CEF或它的补角就是异面直线C₁D与直线A₁C所成的角，解△CEF可得答案．
解法二：向量法
（I）以A为原点建立坐标系，求出，，的坐标后，根据向量垂直的充要条件，及线面垂直的判定定理可得AD⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）求出直线C₁D与直线A₁C的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．
解答：解法一：几何法
证明：（Ⅰ）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁C₁
又A₁C₁⊥A₁B₁，
∴A₁C₁⊥平面A₁B₁BA
∴AD⊥A₁C₁
∵AD=，A₁D=，AA₁=2，
由AD，
得A₁D⊥AD
∵A₁C₁∩A₁D=A₁
∴AD⊥平面A₁DC₁…（7分）
解：（Ⅱ）连结AC₁交A₁C于点E，取AD的中点F，连结EF，则EF∥C₁D
∴∠CEF或它的补角就是异面直线C₁D与直线A₁C所成的角
由（Ⅰ）知，AD⊥A₁C₁，则AD⊥AC，
又AF=AD=
在△CEF中，CE=，EF=，CF=
cos∠CEF=
则异面直线C₁D与直线A₁C所成角的余弦值为…（14分）
解法二：以A为原点建立坐标系，如图，则A₁（0，0，2），C（0，1，0），C₁（0，1，2）
D（1，0，1）…（3分）
（Ⅰ）∵=（ 1，0，-1 ），=（ 1，0，1 ），=（ 0，1，0 ），
•=1+0-1=0，
∴A₁D⊥AD …（5分）
又•=0，∴AD⊥A₁C₁
∵A₁D∩A₁C₁=A₁
∴AD⊥A₁DC₁…（8分）
（Ⅱ）=（1，-1，-1），=（0，1，-2）
=1
cos＜＞=
故直线C₁D与直线A₁C所成角的余弦值…（14分）
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，解法一的关键是（1）熟练掌握线线垂直，线面垂直，面面垂直之间的相互转化，（2）将异面直线夹角转化为解三角形问题，解法二的关键是建立空间坐标系，将问题转化为向量夹角问题．