Question

如图,在三棱锥P—ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.

(1)求证OD∥平面PAB;

(2)当k=时,求直线PA与平面PBC所成角的大小;

(3)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?

Answer 1

(1)证明:∵O、D分别为AC、PC的中点,

∴OD∥PA.

又PA平面PAB,

∴OD∥平面PAB.

(2)解:∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC.

又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE.

作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC,

∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF=,

∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.

(3)解:由(2)知OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影.

∵D是PC的中点,若点F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线.

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.

∵OB⊥PC,∴PC⊥BD.

∴PB=BC,即k=1.

反之,当k=1时,三棱锥O—PBC为正三棱锥,

∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.