Question

某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱。

（1）   证明：直线平面；

（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为元，需加工处理费多少元？

 

Answer 1

【答案】

 （1）见解析    （2）

【解析】（1）因为四棱柱的侧面是全等的矩形，所以   又因为，所以平面

连接，因为平面，所以

因为底面是正方形，所以。根据棱台的定义可知，与共面。

又已知平面平面，且平面平面

平面，所以，于是

由，可得，

又因为，所以平面。

（2）因为四棱柱的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以

又因为四棱台的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以

于是该实心零部件的表面积为，故所需加工处理费为（元）

【点评】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直线面垂直面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查