某个实心零部件的形状是如图所示的几何体.其下部是底面均是正方形.侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD.上不是一个底面与四棱台的上底面重合.侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2．(1)证明:直线B1D1⊥平面ACC2A2,(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知AB=10.A1B1=20.AA2=30.AA1=13.每平方厘米的加� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂．
（1）证明：直线B₁D₁⊥平面ACC₂A₂；
（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A₁B₁=20，AA₂=30，AA₁=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

【答案】分析：（1）依题意易证AC⊥B₁D₁，AA₂⊥B₁D₁，由线面垂直的判定定理可证直线B₁D₁⊥平面ACC₂A₂；
（2）需计算上面四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的表面积（除去下底面的面积）S₁，四棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD的表面积（除去下底面的面积）S₂即可．
解答：解：（1）∵四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的侧面是全等的矩形，
∴AA₂⊥AB，AA₂⊥AD，又AB∩AD=A，
∴AA₂⊥平面ABCD．连接BD，
∵BD?平面ABCD，
∴AA₂⊥BD，又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，根据棱台的定义可知，BD与B₁D₁共面，
又平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，且平面BB₁D₁D∩平面ABCD=BD，平面BB₁D₁D∩平面A₁B₁C₁D₁=B₁D₁，
∴B₁D₁∥BD，于是由AA₂⊥BD，AC⊥BD，B₁D₁∥BD，可得AA₂⊥B₁D₁，AC⊥B₁D₁，又AA₂∩AC=A，
∴B₁D₁⊥平面ACC₂A₂；
（2）∵四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的底面是正方形，侧面是全等的矩形，
∴S₁=S_{四棱柱上底面}+S_{四棱柱侧面}
=

+4AB•AA₂
=10²+4×10×30
=1300（cm²）
又∵四棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，
∴S₂=S_{四棱柱下底面}+S_{四棱台侧面}
=

+4×

（AB+A₁B₁）•h_{等腰梯形的高}
=20²+4×

（10+20）•

=1120（cm²），
于是该实心零部件的表面积S=S₁+S₂=1300+1120=2420（cm²），
故所需加工处理费0.2S=0.2×2420=484元．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查棱柱、棱台的侧面积和表面积，着重考查分析转化与运算能力，属于中档题．

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（1）证明：直线B₁D₁⊥平面ACC₂A₂；
（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A₁B₁=20，AA₂=30，AA₁=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

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某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂。

（1）证明：直线B₁D₁⊥平面ACC₂A₂；

（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A₁B₁=20，AA₂=30，AA₁=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？