Question

已知等比数列{a_n}的首项为a₁=

1

3

，公比q满足q＞0且q≠1．又已知a₁，5a₃，9a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n]的通项
（2）令b_n=log3

1

an

，求证：对于任意n∈N^*，都有

1

2

≤

1

b1b2

+ 

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

＜1

Answer 1

分析：（1）根据条件求得首项和公比，再用通项公式求解；（2）由（1）和b_n=log3

1

an

求得b_n再用裂项法求解证明．

解答：解：（1）∵2•5a₃=a₁+9a₅
∴10a₁q²=a₁+9a₁q⁴
∴9q⁴-10q²+1=0
∵q＞0，q≠1
∴q=

1

3

∴a_n=3^-n
（2）证明：∵b_n=log3

1

an

=n，

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=1-

1

n+1

∴

1

2

≤

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

＜1

点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想．