Question

已知a，b，c均为正数．
（Ⅰ）求证：a²+b²+（

1

a

+

1

b

）²≥4

2

；
（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求证：

9

a

+

4

b

+

1

c

≥100．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式，即可证明结论．

解答： 证明：（Ⅰ）∵a，b均为正数，
∴a²+b²≥2ab，

1

a2

+

1

b2

≥

2

ab

，
∴a²+b²+

1

a2

+

1

b2

≥2ab+

2

ab

，
∴a²+b²+（

1

a

+

1

b

）²≥2ab+

4

ab

≥4

2

，
当且仅当a=b=

2

时，等号成立．
（Ⅱ）∵a+4b+9c=1，
∴

9

a

+

4

b

+

1

c

=（a+4b+9c）（

9

a

+

4

b

+

1

c

）=9+16+9+

4a

b

+

36b

a

+

a

c

+

81c

a

+

36c

b

+

4b

c

≥34+24+18+24=100，
当且仅当a=3b=9c时等号成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，掌握基本不等式的使用条件是关键．