Question

设a∈R，函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；
（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；
（3）若存在a∈[-2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过图象直接得出，（2）将x分区间进行讨论，去绝对值写出解析式，求出单调区间，（3）将a分区间讨论，求出单调区间解出即可．

解答： 解：（1）当a=2，x∈[0，3]时，f(x)=x|x-2|+2x=

x2  ，         x≥2  -x2+4x ， 0≤x＜2 .

作函数图象，

可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．
所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．
（2）f(x)=

x2+(2-a)x  ，  x≥a  -x2+(2+a)x ， x＜a .

①当x≥a时，f(x)=(x-

a-2

2

)2-

(a-2)2

4

．
因为a＞2，所以

a-2

2

＜a．
所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．
②当x＜a时，f(x)=-(x-

a+2

2

)2+

(a+2)2

4

．
因为a＞2，所以

a+2

2

＜a．
所以f（x）在(-∞ ， 

a+2

2

]上单调递增，在[

a+2

2

 ， a]上单调递减．
综上所述，函数f（x）的递增区间是(-∞ ， 

a+2

2

]和[a，+∞），递减区间是[

a+2

2

，a]．
（3）①当-2≤a≤2时，

a-2

2

≤0，

a+2

2

≥0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，关于x的方程f（x）=t-f（a）不可能有三个不相等的实数解．
②当2＜a≤4时，由（1）知f（x）在(-∞ ， 

a+2

2

]和[a，+∞）上分别是增函数，在[

a+2

2

 ， a]上是减函数，
当且仅当2a＜t•f(a)＜

(a+2)2

4

时，方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解．
即1＜t＜

(a+2)2

8a

=

1

8

(a+

4

a

+4)．
令g(a)=a+

4

a

，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，
故g（a）_max=5．
∴实数t的取值范围是(1 ， 

9

8

)．

点评：本题考查了函数的最值，函数单调性的证明，渗透了分类讨论思想，综合性较强，是较难的一道题．