Question

已知（1+2

x

）ⁿ的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，又等于它后一项系数的

5

6

．
（1）求展开式中含有x²的项；
（2）求展开式中偶数项的二项式系数之和．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）根据题意，设该项为第r+1项，则有

C

r n

•2^r=2

C

r-1 n

•2^r-1，且

C

r n

•2^r=

5

6

•

C

r+1 n

•2^r+1，求得r和n的值，可得通项，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得含有x²的项．
（2）根据展开式中偶数项的二项式系数之和为2^n-1，计算求得结果．

解答： 解：（1）根据题意，设该项为第r+1项，则有

C

r n

•2^r=2

C

r-1 n

•2^r-1，且

C

r n

•2^r=

5

6

•

C

r+1 n

•2^r+1，
即

C

r n

=

C

r-1 n

，且

C

r n

=

5

3

C

r+1 n

，即

n=2r-1 5n=8r+3

．
求得r=4，n=7，故通项为Tr+1=

C

r 7

(2

x

)r=2r

C

r 7

x

r

2

．
令

r

2

=2，求得r=4，可得含有x²的项为560x²．
（2）展开式中偶数项的二项式系数之和为

C

1 7

+

C

3 7

+

C

5 7

+

C

7 7

=

27

2

=64．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．