Question

11．40名高三学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求频率分布直方图中x的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在（130，140]与（140，150]中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩落在（130，150]中的学生中任选2人，记成绩落在（140，150]中的人数为X，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x．
（Ⅱ）先求出成绩落在（130，140]与（140，150]中的频率，由此能求出成绩落在（130，140]与（140，150]中的学生人数．
（Ⅲ）成绩落在（130，150]中的学生人数为6人，从中任选2人，成绩落在（140，150]中的人数X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：
（0.005×2+2x+0.015+0.020+0.035）×10=1，
解得x=0.01．
（Ⅱ）成绩落在（130，140]与（140，150]中的频率分别为：
0.01×10=0.1和0.005×10=0.05，
∴成绩落在（130，140]与（140，150]中的学生人数分别为：
0.1×40=4人和0.05×40=2人．
（Ⅲ）成绩落在（130，150]中的学生人数为：4+2=6人，
从中任选2人，成绩落在（140，150]中的人数X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

EX=$0×\frac{2}{5}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．