Question

3．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=$\sqrt{2f（x）-{f}^{2}（x）}$+1，数列{a_n}的前2015项和为-$\frac{4031}{4}$，a_n=f²（n）-2f（n），n∈N^*，则f（2015）的值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由函数性质得a_n+1+a_n=-1由此利用数列性质能求出f（2015）．

解答 解：由已知可得，[f²（x+1）-2f（x+1）]+[f²（x）-2f（x）]=-1，
即a_n+1+a_n=-1，∴S₂₀₀₅=-1007+a₂₀₀₅=-$\frac{4031}{4}$，
a₂₀₀₅=-$\frac{3}{4}$=f²（2015）-2f（2015），解得f（2015）=$\frac{1}{2}$或f（2015）=$\frac{3}{2}$．
又∵1≤f（x）≤2，∴f（2015）=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列知识的合理运用．