Question

13．下列命题：
①已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m⊥α，n?β，则“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件；  
②不存在x∈（0，1），使不等式成立log₂x＜log₃x； 
③“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真命题；
④?θ∈R，函数f（x）=sin（2x+θ）都不是偶函数．
正确的命题序号是①．

Answer 1

分析 ①根据面面垂直的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断，
②根据对数函数的单调性的性质进行判断，
③根据四种命题之间的关系进行判断，
④根据三角函数的奇偶性进行判断．

解答 解：①∵m⊥α，若m∥n，
∴n⊥α，
∵n?β，∴α⊥β，即必要性成立，反之不一定成立，即“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件； 故①正确，
②若log₂x＜log₃x，则$\frac{1}{lo{g}_{x}2}$＜$\frac{1}{lo{g}_{x}3}$，
若x＞1，则log_x2＞log_x3，此时不等式不成立，
若0＜x＜1，则log_x2＞log_x3，此时不等式恒成立，
即?x∈（0，1），不等式成立log₂x＜log₃x成立，故②错误，
③“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为若a＜b，则am²＜bm²，为假命题．，当m=0时，am²＜bm²不成立，故③错误；
④当θ=$\frac{π}{2}$函数f（x）=sin（2x+θ）=cos2x是偶函数．故④错误，
故答案为：①

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．