Question

5．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，E为CD上任意一点．
（1）求证：B₁E⊥AD₁；
（2）若E为CD的中点，P是AA₁的中点，求证DP∥平面B₁AE．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B₁E⊥AD₁．
（2）求出$\overrightarrow{DP}$和平面B₁AE的法向量，利用向量法能证明DP∥平面B₁AE．

解答 证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA₁=AD=a，E为CD上任意一点，设DE=t，DC=2m，0≤t≤2m，
∴B₁（2m，0，a），E（m，a，0），A（0，0，0），D₁（0，a，a），
$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-m，a，-a），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，a，a），
$\overrightarrow{{B}_{1}E}$•$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=0+a²-a²=0，
∴B₁E⊥AD₁．
（2）P（0，0，$\frac{a}{2}$），D（0，a，0），B₁（2m，0，a），A（0，0，0），E（m，a，0），
$\overrightarrow{DP}$=（0，-a，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2m，0，a），$\overrightarrow{AE}$=（m，a，0），
设平面B₁AE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=2mx+az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=mx+ay=0}\end{array}\right.$，
取z=2，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{a}{m}$，1，2），
∵$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{m}$=0-a+a=0，且DP?平面B₁AE，
∴DP∥平面B₁AE．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．