Question

20．设过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$）的左焦点与上顶点的直线为l，若坐标原点O到直线l的距离为$\frac{c}{2}$，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 设椭圆的左焦点F为（-c，0），上顶点A为（0，b），可得直线l的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设椭圆的左焦点F为（-c，0），上顶点A为（0，b），
即有直线l的方程为bx-cy+bc=0，
坐标原点O到直线l的距离为$\frac{c}{2}$，
即有$\frac{|bc|}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{c}{2}$，
由a²-b²=c²，
可得a=2b，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．