Question

10．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：

使用年数	2	4	6	8	10
售价	16	13	9.5	7	4.5

（Ⅰ）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}^{2}}_{i}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$）
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x²-1.75x+17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中数据计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，即可写出回归直线方程；
（Ⅱ）写出利润函数z=y-w，利用二次函数的图象与性质求出x=3时z取得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由表中数据得，$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（16+13+9.5+7+4.5）=10，
由最小二乘法求得
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{2×16+4×13+6×9.5+8×7+10×4.5-5×6×10}{{2}^{2}{+4}^{2}{+6}^{2}{+8}^{2}{+10}^{2}-5{×6}^{2}}$=-1.45，
$\stackrel{∧}{a}$=10-（-1.45）×6=18.7，
所以y关于x的回归直线方程为y=-1.45x+18.7；
（Ⅱ）根据题意，利润函数为
z=y-w=（-1.45x+18.7）-（0.05x²-1.75x+17.2）=-0.05x²+0.3x+1.5，
所以，当x=-$\frac{0.3}{2×（-0.05）}$=3时，二次函数z取得最大值；
即预测x=3时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．

点评 本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，也考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．