Question

15．如图，四棱锥S-ABCD中，SA=SD=BC，底面ABCD为正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M，N分别是AB，SC的中点．
（1）求证：MM∥平面SAD；
（2）求二面角S-CM-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明MM∥平面SAD；
（2）建立坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（1）取SD的中点H，连接HN，MN，AH，
∵M，N分别是AB，SC的中点，
∴HN∥CD∥AB．
HN=$\frac{1}{2}$CD=AM，
则四边形AMNH是平行四边形，
∴AH∥MN，
∴MM∥平面SAD；
（2）∵底面ABCD为正方形，平面SAD⊥平面ABCD，
∴建立以D为坐标原点的空间直角坐标系如图：
∵SA=SD=BC，
∴设BC=1，则AD=1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），M（1，$\frac{1}{2}$，0），S（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面SCM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{CM}$=（1，$-\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{CS}$=（$\frac{1}{2}$，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CM}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CS}$=0，得$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y=0}\\{\frac{1}{2}x-y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令x=2，则y=4，z=2$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{m}$=（2，4，2$\sqrt{3}$），
同理可得平面CMD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{1×\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
则二面角S-CM-D的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查线面平行垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．