Question

4．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=2，则|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|的取值范围为[4，+∞）．

Answer 1

分析 设出三个向量的坐标，利用条件得出坐标之间的关系，使用基本不等式得出|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|的范围．

解答 解：∵${\overrightarrow{a}}^{2}$=1，∴|$\overrightarrow{a}$|=1，设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}=（x，y）$，$\overrightarrow{c}$=（m，n）．
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{m=2}\\{2+ny=1}\end{array}\right.$，即ny=-1．
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$=（4，n+y）．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{16+{n}^{2}+{y}^{2}+2ny}$=$\sqrt{14+{n}^{2}+\frac{1}{{n}^{2}}}$≥4．
故答案为：[4，+∞）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于中档题．