Question

9．设函数f（x）=αcosx+bsinx，其中a、b为实常数，若存在x₁，x₂，当x₁-x₂≠kπ（k∈z）时，有|f（x₁）|+|f（x₂）|=0成立，则函数f（x）的值域为[-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$]．

Answer 1

分析 把函数f（x）化为Asin（ωx+φ）的形式，根据正弦函数的有界性，即可求出函数f（x）的值域．

解答 解：根据题意，函数f（x）=αcosx+bsinx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+θ），
∵-1≤sin（x+θ）≤1，
∴-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$≤$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+θ）≤$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，
∴函数f（x）的值域为[-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$]．
故答案为：[-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$]．

点评 本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．