Question

19．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．
（1）求C的值；
（2）若A=15°，$AB=\sqrt{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值．
（2）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC的周长．

解答 解：（1）斜三角形ABC中，∵tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tanA+tanB=1-tanAtanB，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=1，即-tanC=1，tanC=-1，∴C=135°．
（2）若A=15°，则B=30°，
∵$AB=\sqrt{2}$，则由正弦定理可得$\frac{a}{sin15°}$=$\frac{b}{sin30°}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
求得a=2sin（45°-30°）=2（sin45°cos30°-cos45°sin30°）=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
b=$\frac{1}{2}$•2=1，
故△ABC的周长为a+b+c=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$+1+$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}+2+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查两角和差的正切、正弦公式，诱导公式，正弦定理的应用，属于中档题．