Question

11．2016年微信宣布：微信朋友圈除夕前后10天的所有广告收入，均将变为免费红包派送至全国网民的口袋，金额至少达到9位数．某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了45人的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男性     

等级	喜欢	一般	不喜欢
频数	15	x	5

表2：女性

等级	喜欢	一般	不喜欢
频数	15	3	y

（Ⅰ）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”；

	男性	女性	总计
喜欢
非喜欢
总计

参考数据与公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.01
k0	2.706	3.841	6.635

临界值表：
（Ⅱ）若从样本中的女性中随机抽取3人，求恰有2人非喜欢的概率；
（Ⅲ）若以样本的频率估计概率，从参加调查问卷的人中随机抽取2名男性和1名女性，求其中非喜欢的人数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由分层抽样求出x=5，y=2，得到2×2列联表，求出K²=1.125＜2.706，从而得到没有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”．
（Ⅱ）样本中有20名女性，其中15人喜欢，5人非喜欢，样本中的女性中随机抽取3人，先求出基本事件总数，再求出恰有2人非喜欢包含的基本事件个数，由此能求出恰有2人非喜欢的概率．
（Ⅲ）以样本的频率估计概率，参加调查问卷的男性喜欢抢红包的概率为$\frac{3}{5}$，女性喜欢抢红包的概率为$\frac{3}{4}$，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出非喜欢的人数X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）∵男性500人，女性400人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了45人的测评结果，
∴抽取男性人数为：500×$\frac{45}{400+500}$=25，抽取的女性人数为：400×$\frac{45}{400+500}$=20，
∴x=25-15-5=5，y=20-15-3=2，
由表中统计数据得到2×2列联表：

	男性	女性	总计
喜欢	15	15	30
非喜欢	10	5	15
总计	25	20	45

∵1-0.9=0.1，P（K²≥2.706）=0.10，
K²=$\frac{45（15×5-15×10）^{2}}{30×15×25×20}$=1.125＜2.706，
∴没有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”．
（Ⅱ）∵样本中有20名女性，其中15人喜欢，5人非喜欢，
∴样本中的女性中随机抽取3人，基本事件总数n=${C}_{20}^{3}$=1140，
恰有2人非喜欢包含的基本事件个数m=${C}_{15}^{1}{C}_{5}^{2}$=150，
∴恰有2人非喜欢的概率P=$\frac{m}{n}$=$\frac{150}{1140}$=$\frac{5}{38}$．
（Ⅲ）以样本的频率估计概率，参加调查问卷的男性喜欢抢红包的概率为$\frac{3}{5}$，女性喜欢抢红包的概率为$\frac{3}{4}$，
由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=${C}_{2}^{0}$（$\frac{3}{5}$）²（$\frac{3}{4}$）=$\frac{27}{100}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）（\frac{3}{4}）$+${C}_{2}^{0}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{1}{4}）$=$\frac{45}{100}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{4}）$+${C}_{2}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）（\frac{1}{4}）$=$\frac{24}{100}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{1}{4}）$=$\frac{4}{100}$，
∴非喜欢的人数X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{100}$	$\frac{45}{100}$	$\frac{24}{100}$	$\frac{4}{100}$

EX=$0×\frac{27}{100}$+1×$\frac{45}{100}$+2×$\frac{24}{100}$+3×$\frac{4}{100}$=$\frac{21}{20}$．

点评 本题考查列联表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．