Question

1．如图所示，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的上顶点为A，直线y=-4交椭圆于点B，C（点B在点C的左侧）点P在椭圆上，若四边形ABCP为梯形，求：
（1）椭圆的焦点坐标；
（2）直线CP的方程；
（3）梯形ABCP的面积．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的a，b，c，即可得到所求焦点坐标；
（2）求得A，B，C的坐标和AB的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，运用点斜式方程，可得CP的方程；
（3）将CP的方程代入椭圆方程，求得P的坐标，由两点的距离公式和点到直线的距离公式，运用梯形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的a=10，b=5，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
可得焦点坐标为（±5$\sqrt{3}$，0）；
（2）由题意可得A（0，5），
令y=-4，代入椭圆方程x²+4y²=100，可得x=±6，
即有B（-6，-4），C（6，-4），
由AB∥CP，k_AB=$\frac{3}{2}$，可得直线CP的方程为y+4=$\frac{3}{2}$（x-6），
即为y=$\frac{3}{2}$x-13；
（3）由y=$\frac{3}{2}$x-13，代入椭圆方程x²+4y²=100，可得
5x²-78x+288=0，
解得x=6或$\frac{48}{5}$，
可得P（$\frac{48}{5}$，$\frac{7}{5}$），
即有|AB|=3$\sqrt{13}$，|CP|=$\sqrt{\frac{1{8}^{2}}{25}+\frac{2{7}^{2}}{25}}$=$\frac{9\sqrt{13}}{5}$，
点A到直线CP的距离为d=$\frac{|0-5-13|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}}}$=$\frac{36}{\sqrt{13}}$，
则梯形ABCP的面积为$\frac{1}{2}$•$\frac{36}{\sqrt{13}}$•（3$\sqrt{13}$+$\frac{9\sqrt{13}}{5}$）
=$\frac{432}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程的运用，以及直线和椭圆方程联立，解交点，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．