Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB-bcosA=$\frac{1}{3}$c，cosC=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，则tanB的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 acosB-bcosA=$\frac{1}{3}$c，利用正弦定理、和差公式可得：tanA=2tanB．由cosC=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，C∈（0，π），可得sinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，tanC=-3．利用-3=tanC=-tan（A+B），代入解出即可得出．

解答 解：∵acosB-bcosA=$\frac{1}{3}$c，
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{1}{3}$sinC=$\frac{1}{3}$sin（A+B）=$\frac{1}{3}$sinAcosB+$\frac{1}{3}$cosAsinB，
∴tanA=2tanB．
∵cosC=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，C∈（0，π），
∴sinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，tanC=-3．
∴-3=tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{3tanB}{1-2ta{n}^{2}B}$，
化为：2tan²B+tanB-1=0，B为锐角，
解得tanB=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数求值、和差公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．